Nauka / Dowody matematyczne

Dowody matematyczne

Dowodzenie tożsamości, podzielności i nierówności.

PodstawowyRozszerzony

1–3. Teoria, wzory i przykłady

Zasady dobrego dowodu

Zapisz jasno założenia, przekształcaj równoważnie (lub wyraźnie zaznacz kierunek wnioskowania), a każdy krok uzasadnij (wzór, definicja, wcześniej udowodniony fakt). Dowód podzielności przez $k$ zwykle polega na doprowadzeniu wyrażenia do postaci $k\cdot(\text{liczba całkowita})$ .

Przykład

Wykaż, że dla naturalnego $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Rozwijamy: $n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2=3(n+1)^2+2$ . Ponieważ $3(n+1)^2$ dzieli się przez 3, cała liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. $\blacksquare$

Średnie zadania

Średnie2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ .

Średnie2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $(2n+1)^2-1$ jest podzielna przez $8$ .

Średnie2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez 14.

Średnie2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez 4.

Średnie2 pkt

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

Średnie2 pkt

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność $x^2+1\ge2x$ .

Trudne zadania

Trudne3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $\dfrac1x+\dfrac1y\le\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}$ .

Trudne3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\dfrac12a$ , prawdziwa jest nierówność $(a+2b)^3>8a^2b+16ab^2$ .

Gotowy na sprawdzian z działu?

Wygeneruj krótki test z tego działu w generatorze.

Test działowy