Tablica wzorów

Wszystkie wzory maturalne w jednym miejscu — z opisem symboli, zastosowaniem i przykładem.

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

$a_n=a_1+(n-1)r, \qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Wyraz ogólny i suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Zastosowanie: Zadania o ciągach o stałej różnicy.

Przykład:

$a_1=2, r=3 \Rightarrow a_5=2+4\cdot3=14$

Ciąg geometryczny

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ (q\neq1)$

Wyraz ogólny i suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Zastosowanie: Zadania o ciągach o stałym ilorazie.

Przykład:

$a_1=3, q=2 \Rightarrow a_4=3\cdot2^3=24$

Warunek ciągu geometrycznego

$b^2=ac \iff a,b,c\ \text{tworzą ciąg geometryczny}$

Środkowy wyraz podniesiony do kwadratu równa się iloczynowi sąsiadów.

Zastosowanie: Sprawdzanie / wyznaczanie parametru w trójwyrazowym ciągu geometrycznym.

Przykład:

$12,6,3 \Rightarrow 6^2=12\cdot3=36 ✓$

Dowody

Rozkład na czynnik k

$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3(n+1)^2+2$

Przykładowe przekształcenie używane w dowodach podzielności.

Zastosowanie: Dowodzenie, że wyrażenie przy dzieleniu przez k daje określoną resztę.

Przykład:

$Dzieląc przez 3, reszta zawsze wynosi 2 (dla dowolnego naturalnego n).$

Funkcja kwadratowa

Współrzędne wierzchołka paraboli

$p=\frac{-b}{2a}, \quad q=\frac{-\Delta}{4a}$

Wierzchołek paraboli y=ax²+bx+c to punkt (p,q).

Zastosowanie: Postać kanoniczna, ekstremum funkcji kwadratowej.

Przykład:

$f(x)=x^2-4x+3 \Rightarrow p=2, q=-1$

Wzory Viète'a

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$

Suma i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.

Zastosowanie: Zadania bez wyznaczania jawnie pierwiastków.

Przykład:

$x^2-5x+6=0 \Rightarrow x_1+x_2=5,\ x_1x_2=6$

Funkcja liniowa

Warunek równoległości i prostopadłości

$a_1=a_2 \ \text{(równoległe)}, \qquad a_1\cdot a_2=-1 \ \text{(prostopadłe)}$

Warunki na współczynniki kierunkowe dwóch prostych.

Zastosowanie: Zadania o wzajemnym położeniu prostych.

Przykład:

$y=2x+1 \ \text{i}\ y=-\frac12x+5 \ \text{są prostopadłe}$

Geometria analityczna

Odległość dwóch punktów

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Odległość euklidesowa między punktami A i B na płaszczyźnie.

Zastosowanie: Obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych.

Przykład:

$A=(0,0), B=(3,4) \Rightarrow |AB|=5$

Środek odcinka

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Współrzędne środka odcinka AB.

Zastosowanie: Środek odcinka, przekątne równoległoboku.

Przykład:

$A=(-2,6),B=(10,2) \Rightarrow S=(4,4)$

Równanie okręgu

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Równanie okręgu o środku (a,b) i promieniu r.

Zastosowanie: Zapisywanie i odczytywanie równania okręgu.

Przykład:

$Środek (2,-1), r=3: (x-2)^2+(y+1)^2=9$

Geometria przestrzenna

Objętości brył

$V_{graniastosłup}=P_{podst}\cdot h, \qquad V_{ostrosłup}=\frac13P_{podst}\cdot h$

Podstawowe wzory na objętość graniastosłupa i ostrosłupa.

Zastosowanie: Obliczanie objętości brył.

Przykład:

$P_{podst}=10, h=6 \Rightarrow V_{graniastosłup}=60$

Kula i walec

$V_{kula}=\frac43\pi r^3, \qquad V_{walec}=\pi r^2h$

Objętość kuli i walca.

Zastosowanie: Zadania z bryłami obrotowymi.

Przykład:

$r=3 \Rightarrow V_{kula}=36\pi$

Bryły podobne

$\frac{P_1}{P_2}=k^2, \qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3$

Stosunek pól i objętości brył podobnych w skali k.

Zastosowanie: Zadania o bryłach podobnych.

Przykład:

$k=2 \Rightarrow stosunek objętości = 8, stosunek pól = 4$

Geometria płaska

Twierdzenie Pitagorasa

$a^2+b^2=c^2$

Związek między przyprostokątnymi a i b oraz przeciwprostokątną c.

Zastosowanie: Obliczanie boków trójkąta prostokątnego.

Przykład:

$a=3, b=4 \Rightarrow c=5$

Pole trójkąta z sinusem kąta

$P=\frac12 ab\sin\gamma$

Pole trójkąta o bokach a, b i kącie γ między nimi.

Zastosowanie: Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi.

Przykład:

$a=4,b=5,\gamma=30° \Rightarrow P=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\frac12=5$

Pole równoległoboku

$P=ab\sin\alpha$

Pole równoległoboku o bokach a, b i kącie α między nimi.

Zastosowanie: Obliczanie pola równoległoboku bez wysokości.

Przykład:

$a=3,b=4,\alpha=120° \Rightarrow P=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$

Kąt wpisany i środkowy

$\alpha_{wpisany}=\frac12\alpha_{środkowy}$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy jest o połowę mniejszy.

Zastosowanie: Zadania z okręgiem opisanym na trójkącie.

Przykład:

$Kąt środkowy 84° \Rightarrow kąt wpisany 42°$

Kombinatoryka

Silnia i permutacje

$n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$

Liczba sposobów ustawienia n różnych elementów w ciąg.

Zastosowanie: Permutacje zbioru n-elementowego.

Przykład:

$4!=24$

Kombinacje

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego.

Zastosowanie: Wybór grupy elementów bez znaczenia kolejności.

Przykład:

$\binom{5}{2}=10$

Liczby rzeczywiste

Wartość bezwzględna

$|x-a| = \begin{cases} x-a & x\ge a \\ a-x & x<a \end{cases}$

Odległość liczby x od liczby a na osi liczbowej.

Zastosowanie: Równania i nierówności typu |x-a| = r, |x-a| < r, |x-a| > r.

Przykład:

$|x-3|=5 \iff x=-2 \ \text{lub}\ x=8$

Nierówność z wartością bezwzględną

$|x-a| < r \iff a-r < x < a+r$

Rozwiązanie nierówności ostrej z wartością bezwzględną (r>0).

Zastosowanie: Zamiana nierówności z modułem na podwójną nierówność / przedział.

Przykład:

$|x+1|<4 \iff -5<x<3$

Logarytmy

Definicja logarytmu

$\log_a b = c \iff a^c=b$

Podstawowa definicja logarytmu (a>0, a≠1, b>0).

Zastosowanie: Zamiana zapisu logarytmicznego na wykładniczy.

Przykład:

$\log_2 8=3 \ \text{bo}\ 2^3=8$

Suma i różnica logarytmów

$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy), \quad \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$

Prawa działań na logarytmach o tej samej podstawie.

Zastosowanie: Łączenie lub rozdzielanie logarytmów.

Przykład:

$\log_2 3+\log_2 4=\log_2 12$

Logarytm potęgi

$\log_a x^r = r\log_a x$

Logarytm potęgi to wykładnik razy logarytm podstawy potęgi.

Zastosowanie: Wyciąganie wykładnika przed logarytm.

Przykład:

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

Nierówności

Mnożenie przez liczbę ujemną

$a<b \ \wedge\ c<0 \ \Rightarrow\ ac>bc$

Mnożenie/dzielenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak.

Zastosowanie: Przekształcanie nierówności — najczęstsze źródło błędów.

Przykład:

$-2x<6 \Rightarrow x>-3$

Pierwiastki

Iloczyn i iloraz pierwiastków

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Działania na pierwiastkach tego samego stopnia (a,b ≥ 0).

Zastosowanie: Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami.

Przykład:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$

Usuwanie niewymierności

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}$

Mnożenie przez sprzężenie usuwa pierwiastek z mianownika.

Zastosowanie: Upraszczanie ułamków z niewymiernością w mianowniku.

Przykład:

$\frac{1}{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{\sqrt5+\sqrt3}{2}$

Pochodna

Pochodna funkcji potęgowej

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Podstawowy wzór różniczkowania funkcji potęgowej.

Zastosowanie: Liczenie pochodnych wielomianów.

Przykład:

$(x^3)'=3x^2$

Pochodna iloczynu i ilorazu

$(fg)'=f'g+fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Reguły różniczkowania iloczynu i ilorazu funkcji.

Zastosowanie: Pochodne funkcji złożonych z iloczynów/ilorazów.

Przykład:

$(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$

Monotoniczność z pochodnej

$f'(x)>0 \Rightarrow f\ \text{rosnąca}, \qquad f'(x)<0 \Rightarrow f\ \text{malejąca}$

Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji.

Zastosowanie: Wyznaczanie przedziałów monotoniczności i ekstremów.

Przykład:

$f'(x)=0\ \text{i zmiana znaku z + na -}\Rightarrow\ \text{maksimum lokalne}$

Potęgi

Mnożenie i dzielenie potęg

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Działania na potęgach o tej samej podstawie.

Zastosowanie: Upraszczanie wyrażeń potęgowych.

Przykład:

$2^3\cdot2^5=2^8=256$

Potęgowanie potęgi

$(a^m)^n = a^{mn}$

Potęga potęgi — wykładniki się mnożą.

Zastosowanie: Sprowadzanie wyrażeń do wspólnej podstawy.

Przykład:

$(2^3)^4=2^{12}$

Potęga o wykładniku ujemnym

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\neq0)$

Definicja potęgi o wykładniku ujemnym.

Zastosowanie: Zamiana potęgi ujemnej na ułamek.

Przykład:

$5^{-2}=\frac{1}{25}$

Prawdopodobieństwo

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A w modelu klasycznym (Laplace'a).

Zastosowanie: Podstawowe zadania rachunku prawdopodobieństwa.

Przykład:

$Rzut kostką, A = wypadnie parzysta: P(A)=\frac{3}{6}=\frac12$

Procenty

Procent składany

$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

Wartość kapitału po n okresach kapitalizacji z oprocentowaniem p% w okresie.

Zastosowanie: Lokaty, kredyty, wzrost/spadek wykładniczy.

Przykład:

$\text{1000 zł przy 5\% rocznie przez 3 lata: } 1000\cdot1{,}05^3\approx1157{,}63\text{ zł}$

Równania kwadratowe

Delta i pierwiastki

$\Delta=b^2-4ac, \quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego ax²+bx+c=0.

Zastosowanie: Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Przykład:

$x^2-5x+6=0 \Rightarrow \Delta=1, x_1=2, x_2=3$

Statystyka

Średnia arytmetyczna

$\bar x=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

Suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.

Zastosowanie: Podstawowa miara statystyczna.

Przykład:

$2,4,6 \Rightarrow \bar x=4$

Odchylenie standardowe

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}$

Pierwiastek z wariancji — miara rozproszenia danych.

Zastosowanie: Ocena zmienności danych statystycznych.

Przykład:

$Im mniejsze σ, tym dane bliżej średniej.$

Trygonometria

Jedynka trygonometryczna

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Podstawowa tożsamość trygonometryczna.

Zastosowanie: Wyznaczanie jednej funkcji trygonometrycznej ze znajomości drugiej.

Przykład:

$\sin\alpha=\frac35 \Rightarrow \cos\alpha=\pm\frac45$

Tangens

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Związek tangensa z sinusem i cosinusem.

Zastosowanie: Zamiana między funkcjami trygonometrycznymi.

Przykład:

$\sin\alpha=0{,}6,\cos\alpha=0{,}8 \Rightarrow \tan\alpha=0{,}75$

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

$\sin\alpha=\frac{a}{c}, \quad \cos\alpha=\frac{b}{c}, \quad \tan\alpha=\frac{a}{b}$

a — przyprostokątna naprzeciw kąta α, b — przyprostokątna przy kącie α, c — przeciwprostokątna.

Zastosowanie: Obliczenia w trójkącie prostokątnym.

Przykład:

$\alpha=30° \Rightarrow \sin30°=\frac12$

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy i różnicy

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy.

Zastosowanie: Szybkie rozwijanie i zwijanie wyrażeń kwadratowych.

Przykład:

$(x+3)^2=x^2+6x+9$

Różnica kwadratów

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Rozkład różnicy kwadratów na czynniki.

Zastosowanie: Rozkład na czynniki, upraszczanie ułamków algebraicznych.

Przykład:

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

Suma i różnica sześcianów

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Rozkład sumy/różnicy sześcianów na czynniki.

Zastosowanie: Rozkład wyrażeń sześciennych.

Przykład:

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$