Załóż konto
Nauka / Funkcje — podstawy

Funkcje — podstawy

Dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, odczytywanie własności z wykresu.

PodstawowyRozszerzony

1–3. Teoria, wzory i przykłady

Podstawowe pojęcia

Funkcja przyporządkowuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Funkcja jest rosnąca, gdy dla x1<x2x_1<x_2 zachodzi f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2); malejąca, gdy f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2).

Przekształcenia wykresu y=f(x)y=f(x)

  • y=f(x)+qy=f(x)+q — przesunięcie w górę o qq (dla q<0q<0 w dół)
  • y=f(x−p)y=f(x-p) — przesunięcie w prawo o pp
  • y=f(−x)y=f(-x) — odbicie względem osi OYOY
  • y=−f(x)y=-f(x) — odbicie względem osi OXOX
  • y=∣f(x)∣y=|f(x)| — część wykresu poniżej OXOX odbijamy do góry

Przykład

Jeśli wierzchołek paraboli ff to (1,9)(1,9), to wykres g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3) ma wierzchołek w punkcie (1−3,9)=(−2,9)(1-3,9)=(-2,9) (przesunięcie w lewo o 3).

Średnie zadania

Średnie1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y=f(x): dla x∈[−6,−3)x\in[-6,-3) wykresem jest odcinek poziomy y=2y=2 (domknięty w x=−6x=-6, otwarty w x=−3x=-3); dla x∈[−3,1]x\in[-3,1] wykresem jest odcinek prostej y=xy=x; dla x∈(1,2]x\in(1,2] wykresem jest odcinek poziomy y=5y=5; dla x∈[2,5]x\in[2,5] wykresem jest odcinek prostej opadającej od punktu (2,5)(2,5) do punktu (5,3)(5,3).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji ff jest zbiór

Średnie1 pkt

Wykres funkcji ff jest taki jak w zadaniu 12.1.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji ff w przedziale [−4,1][-4,1] jest równa

Średnie1 pkt

Wykres funkcji ff jest taki jak w zadaniu 12.1.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja ff jest malejąca w zbiorze

Średnie2 pkt

Funkcja ff jest określona następująco: f(x)=x+2f(x)=x+2 dla x∈[−4,2]x\in[-4,2], f(x)=−x+5f(x)=-x+5 dla x∈(2,5)x\in(2,5).

Wykres funkcji y=f(x)y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y).

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

  1. Rozwiązaniem równania f(x)=3f(x)=3 jest liczba ……
  2. Największa wartość funkcji ff w przedziale [2,3][2,3] jest równa ……
Średnie2 pkt

Funkcja ff jest taka jak w zadaniu 12.1: f(x)=x+2f(x)=x+2 dla x∈[−4,2]x\in[-4,2], f(x)=−x+5f(x)=-x+5 dla x∈(2,5)x\in(2,5).

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

  1. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział ……
  2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział ……
Średnie2 pkt

Funkcja f(x)=2x−5f(x)=2x-5 jest określona dla x∈[−1,4]x\in[-1,4]. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Trudne zadania

Trudne2 pkt

Funkcje kwadratowe gg oraz hh są określone za pomocą funkcji ff z zadania 14.1 następująco: g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3), h(x)=f(−x)h(x)=f(-x).

Przyporządkuj każdej z funkcji gg oraz hh jej wykres, wiedząc, że ff ma wierzchołek (1,9)(1,9) i miejsca zerowe −2,4-2, 4.

Trudne4 pkt

Funkcja ff jest określona następująco: f(x)=x+5f(x)=x+5 dla x∈[−4,−2]x\in[-4,-2], f(x)=3f(x)=3 dla x∈(−2,2]x\in(-2,2], f(x)=−3x+9f(x)=-3x+9 dla x∈(2,4)x\in(2,4).

Wykres funkcji y=f(x)y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y).

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

  1. Dziedziną funkcji ff jest przedział ……
  2. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział ……
  3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ……
  4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3f(x)=3 jest przedział ……
Gotowy na sprawdzian z działu?
Wygeneruj krótki test z tego działu w generatorze.
Test działowy