Liczby rzeczywiste

Zbiory liczbowe

Liczby naturalne $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, całkowite $\mathbb{Z}$, wymierne $\mathbb{Q}$ (dają się zapisać jako $\frac{p}{q}$, $q\neq 0$) oraz niewymierne (np. $\sqrt{2}$, $\pi$) tworzą razem zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Wartość bezwzględna

$|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \ge 0 \\ -x & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$

Interpretacja geometryczna: $|x-a|$ to odległość liczby $x$ od liczby $a$ na osi liczbowej.

Typowe równania i nierówności:

• $|x-a| = r \iff x = a-r \ \text{lub} \ x = a+r$
• $|x-a| < r \iff a-r < x < a+r$ (dla $r>0$)
• $|x-a| \ge r \iff x \le a-r \ \text{lub} \ x \ge a+r$

Przedziały

$(a,b)$ — otwarty, $[a,b]$ — domknięty, $[a,b)$, $(a,b]$ — jednostronnie domknięte. Symbole $\pm\infty$ zawsze z nawiasem otwartym.

Przykład

Rozwiąż $|x+2|\ge 5$. Rozwiązanie: $x+2 \le -5$ lub $x+2\ge 5$, czyli $x\le -7$ lub $x \ge 3$. Zbiór rozwiązań: $(-\infty,-7]\cup[3,+\infty)$.