Nauka / Procenty

Procenty

Obliczenia procentowe, punkty procentowe, procent składany.

PodstawowyRozszerzony

1–3. Teoria, wzory i przykłady

Podstawy

$p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100}\cdot x$ . Zwiększenie liczby $x$ o $p\%$ daje $x\left(1+\frac{p}{100}\right)$ , zmniejszenie o $p\%$ daje $x\left(1-\frac{p}{100}\right)$ .

Uwaga: punkt procentowy to różnica dwóch wartości procentowych, nie to samo co "procent zmiany".

Procent składany

Kapitał $K_0$ po $n$ okresach kapitalizacji z oprocentowaniem $p\%$ w okresie: $K_n = K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$ .

Przykład

Cenę podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%. Cena końcowa to $x\cdot1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96x$ — czyli 4% mniej niż na początku (nie wraca do wartości początkowej!).

Łatwe zadania

Łatwe1 pkt

Cenę roweru wynoszącą 200 zł podniesiono o 15%. Nowa cena roweru jest równa

Średnie zadania

Średnie1 pkt

Klient wpłacił do banku $10\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Średnie2 pkt

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge0$ , gdzie $N_0$ to liczebność populacji w chwili $t=0$ , $k$ to stała dodatnia charakterystyczna dla gatunku, a $t$ to czas w godzinach.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch godzinach była równa 15 625.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Średnie2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Średnie2 pkt

Po podwyżce ceny o 25% towar kosztuje 500 zł. Ile kosztował towar przed podwyżką?

Gotowy na sprawdzian z działu?

Wygeneruj krótki test z tego działu w generatorze.

Test działowy