Załóż konto
Nauka / Trygonometria

Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i dowolnego, tożsamości, wzory redukcyjne.

PodstawowyRozszerzony

1–3. Teoria, wzory i przykłady

Definicje w trójkącie prostokątnym

Dla kąta α\alpha, gdzie aa to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta, bb — przyprostokątna przy kącie, a cc — przeciwprostokątna:

sin⁡α=accos⁡α=bctan⁡α=ab\sin\alpha=\frac{a}{c} \qquad \cos\alpha=\frac{b}{c} \qquad \tan\alpha=\frac{a}{b}

Jedynka trygonometryczna

sin⁡2α+cos⁡2α=1tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \qquad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Znaki funkcji w ćwiartkach

Ćwiartka II (90°<α<180°90°<\alpha<180°): sin⁡α>0\sin\alpha>0, cos⁡α<0\cos\alpha<0, tan⁡α<0\tan\alpha<0.

Przykład

sin⁡320°+cos⁡220°⋅sin⁡20°=sin⁡20°(sin⁡220°+cos⁡220°)=sin⁡20°⋅1=sin⁡20°\sin^3 20°+\cos^220°\cdot\sin20° = \sin20°(\sin^220°+\cos^220°)=\sin20°\cdot1=\sin20° — wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

Łatwe zadania

Łatwe1 pkt

Oblicz wartość wyrażenia sin⁡30°+cos⁡60°\sin30°+\cos60°.

Średnie zadania

Średnie2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) zaznaczono kąt o mierze α\alpha taki, że tg⁡α=−3\operatorname{tg}\alpha=-3 oraz 90°<α<180°90°<\alpha<180°.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi.

Średnie1 pkt

Liczba sin⁡320°+cos⁡220°⋅sin⁡20°\sin^320°+\cos^220°\cdot\sin20° jest równa

Średnie1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) zaznaczono kąt α\alpha o wierzchołku w punkcie O=(0,0)O=(0,0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią OxOx, a drugie przechodzi przez punkt P=(−3,1)P=(-3,1).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α\alpha jest równy

Średnie1 pkt

Dla każdego kąta ostrego α\alpha wyrażenie sin⁡4α+sin⁡2α⋅cos⁡2α\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha jest równe

Średnie1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny ABCABC, w którym bok ACAC jest przeciwprostokątną oraz ∣BC∣=2|BC|=2 i ∣AC∣=210|AC|=2\sqrt{10}. Oznaczmy kąt BCABCA przez γ\gamma.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta γ\gamma jest równy

Średnie1 pkt

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 3sin⁡α+4cos⁡α4cos⁡α=6\dfrac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α\alpha jest równy

Średnie1 pkt

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 3tg⁡α=2sin⁡α\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta α\alpha jest równy

Średnie1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny ABCABC, w którym bok BCBC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna ABAB ma długość 6, a środkowa CDCD (środkowa poprowadzona z wierzchołka CC do środka DD boku ABAB) ma długość 5. Oznaczmy kąt ADCADC przez α\alpha, natomiast kąt ABCABC – przez β\beta.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α\alpha jest równy

Średnie1 pkt

Trójkąt ABCABC jest taki jak w zadaniu 18.1 (AB=6, CD=5, D — środek AB, AC=4).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta β\beta (kąta ABCABC) jest równy

Średnie2 pkt

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35. Oblicz cos⁡α\cos\alpha oraz tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.

Maturalne zadania

Maturalne4 pkt

Rozwiąż równanie sin⁡(6x)−2sin⁡(2x)=0\sin(6x)-2\sin(2x)=0. Zapisz obliczenia.

Maturalne5 pkt

Rozwiąż równanie 3cos⁡2x+3sin⁡(2x)−3sin⁡2x=03\cos^2x+\sqrt3\sin(2x)-3\sin^2x=0 w przedziale [−π,π][-\pi,\pi]. Zapisz obliczenia.

Gotowy na sprawdzian z działu?
Wygeneruj krótki test z tego działu w generatorze.
Test działowy