Matura 2024 — matematyka podstawowa (termin główny)

Dana jest nierówność $|x-1|\ge3$.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

Liczba $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{8}\cdot 8^{16}$ jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Liczba $\log_{\sqrt3}9$ jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $1-\dfrac32x<\dfrac23-x$ jest przedział

Równanie $\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-3x+6=0$.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych — odpowiednio — w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono dwie proste równoległe. Układem równań, którego interpretacją geometryczną są te proste, jest

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołek paraboli oraz punkty przecięcia z osiami mają współrzędne całkowite: wierzchołek $(1,9)$, ramiona paraboli skierowane w dół, miejsca zerowe w punktach $x=-2$ i $x=4$.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$ jest przedział ……

Funkcja kwadratowa $f$ (patrz opis w zadaniu 14.1: wierzchołek $(1,9)$, miejsca zerowe $-2$ i $4$) jest określona wzorem

Dla funkcji $f$ z zadania 14.1 (wierzchołek paraboli w punkcie $x=1$) prawdziwa jest równość

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ z zadania 14.1 następująco: $g(x)=f(x+3)$, $h(x)=f(-x)$.

Przyporządkuj każdej z funkcji $g$ oraz $h$ jej wykres, wiedząc, że $f$ ma wierzchołek $(1,9)$ i miejsca zerowe $-2, 4$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot(n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Trzywyrazowy ciąg $(12,\ 6,\ 2m-1)$ jest geometryczny.

Ten ciąg jest [rosnący / malejący] oraz [$m=\frac12$ / $m=2$ / $m=3$].

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=-3$ oraz $90°<\alpha<180°$.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi.

Liczba $\sin^320°+\cos^220°\cdot\sin20°$ jest równa

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120°$.

Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42°$.

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami: $k: y=(m+1)x+7$ $l: y=-2x+7$

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt3$.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego (z zadania 25.1) do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na jednym z czterech rysunków A–D.

Wskaż rysunek, na którym poprawnie zaznaczono ten kąt.

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa $64$. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa $512$.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy ……

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1,3,6,8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Średnia arytmetyczna trzech liczb $a,b,c$ jest równa $9$.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb $a,a,b,b,c,c$ jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej: ocenę 1 otrzymały 2 osoby, ocenę 2 — 7 osób, ocenę 3 — 4 osoby, ocenę 4 — 3 osoby, ocenę 5 — 6 osób, ocenę 6 — 4 osoby.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K=\{5,6,7,8,9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt o wymiarach $x$ (wysokość) i $y$ (szerokość), a trzy takie prostokąty ustawione są w rzędzie (stąd łączna szerokość to $3y$). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki (dwie ściany wewnętrzne mają długość $x$ każda).

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.