Geometria płaska

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość przeciwprostokątnej i pole trójkąta.

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120°$.

Pole tego równoległoboku jest równe

W rombie o boku długości $6\sqrt2$ kąt rozwarty ma miarę $150°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Punkty $A,B,C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$.

Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Punkty $A,B,C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50°$, a kąt $COB$ ma miarę $30°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k,l,m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA|=12$, $|OB|=6$ oraz $|OC|=8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $OD$ ma długość

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$.

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\dfrac{a}{b}$.

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt3$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość ……

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC|=4$ i $|AB|=3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11$, $|BC|=12$ oraz $|\angle ABC|=60°$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Podstawy trapezu mają długości $10$ i $6$, a jego wysokość jest równa $4$. Oblicz pole trapezu.

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42°$.

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Punkty $K$ i $L$ są środkami – odpowiednio – boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe.

Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$.

Wykaż, że $|PQ|=\dfrac{\sqrt5}{5}a$.

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt3-1}2$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\angle BAD|=60°$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg.

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac12$.

Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac15$.