Nauka / Pochodna funkcji i optymalizacja

Pochodna funkcji i optymalizacja

Pochodna funkcji, monotoniczność, ekstrema, zadania optymalizacyjne.

Rozszerzony

1–3. Teoria, wzory i przykłady

Podstawowe wzory

$(x^n)'=nx^{n-1} \qquad (c)'=0 \qquad (f+g)'=f'+g' \qquad (f\cdot g)'=f'g+fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Monotoniczność i ekstrema

Jeśli $f'(x)>0$ w przedziale, $f$ jest tam rosnąca; jeśli $f'(x)<0$ — malejąca. W punkcie, gdzie $f'$ zmienia znak z $+$ na $-$ , jest maksimum lokalne; z $-$ na $+$ — minimum lokalne.

Zadania optymalizacyjne

Schemat: (1) zapisz wielkość do zoptymalizowania jako funkcję jednej zmiennej, uwzględniając więzy z treści, (2) wyznacz dziedzinę, (3) zbadaj pochodną, (4) wskaż ekstremum i sprawdź, że to maksimum/minimum (a nie np. brzeg dziedziny).

Przykład

Trzy prostokątne wybiegi o wspólnych ścianach, obwód siatki $6y+4x=36$ . Pole $S=3xy$ . Z więzów: $x=9-1{,}5y$ . $S(y)=27y-4{,}5y^2$ , $S'(y)=27-9y=0 \Rightarrow y=3$ , wtedy $x=4{,}5$ . To maksimum (parabola z ramionami w dół).

Średnie zadania

Średnie3 pkt

Dana jest funkcja $f(x)=x^3-3x$ . Wyznacz jej ekstrema lokalne.

Średnie2 pkt

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2-6x+5$ .

Trudne zadania

Trudne3 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, styczna do każdego z boków trójkątnego kwietnika.

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$ .

Maturalne zadania

Maturalne4 pkt

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt o wymiarach $x$ (wysokość) i $y$ (szerokość), a trzy takie prostokąty ustawione są w rzędzie (stąd łączna szerokość to $3y$ ). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki (dwie ściany wewnętrzne mają długość $x$ każda).

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Maturalne4 pkt

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$ dla każdego $x\in(4,10]$ (zadanie 12.1).

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Maturalne4 pkt

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h\in(5,+\infty)$ (zadanie 12.1).

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Gotowy na sprawdzian z działu?

Wygeneruj krótki test z tego działu w generatorze.

Test działowy