Matura 2025 — matematyka rozszerzona (termin główny)

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge0$, gdzie $N_0$ to liczebność populacji w chwili $t=0$, $k$ to stała dodatnia charakterystyczna dla gatunku, a $t$ to czas w godzinach.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch godzinach była równa 15 625.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\dfrac12a$, prawdziwa jest nierówność $(a+2b)^3>8a^2b+16ab^2$.

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt3-1}2$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $|x-2|-2\cdot|x+3|<-2$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac12$.

Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac15$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal O_1$ oraz $\mathcal O_2$ o równaniach: $\mathcal O_1:(x-1)^2+(y+3)^2=5$ oraz $\mathcal O_2:(x-2)^2+(y-4)^2=45$.

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\vec{AM}=-2\cdot\vec{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $3\cos^2x+\sqrt3\sin(2x)-3\sin^2x=0$ w przedziale $[-\pi,\pi]$. Zapisz obliczenia.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\dfrac9{25}\right)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek $(x_1-x_2)^2\le180$. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$.

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h\in(5,+\infty)$ (zadanie 12.1).

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.