Bank zadań

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość 6, a środkowa $CD$ (środkowa poprowadzona z wierzchołka $C$ do środka $D$ boku $AB$) ma długość 5. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, w którym $a_1=27$ oraz $a_2=9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg $(2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)$ jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest taki jak w zadaniu 14.1: $a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n+1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n+1$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(3-m)x-4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego

Funkcja $f$ jest taka jak w zadaniu 12.1. Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x)-3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1+x_2$ jest równa ……

Funkcja $f$ jest taka jak w zadaniu 12.1 (wierzchołek paraboli w punkcie $(3,6)$).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco: $f(x)=x+5$ dla $x\in[-4,-2]$, $f(x)=3$ dla $x\in(-2,2]$, $f(x)=-3x+9$ dla $x\in(2,4)$.

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ……
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ……
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział ……

Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1)<11x$. Zapisz obliczenia.

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $2x(x+3)(x^2+25)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Dana jest nierówność $3-2(1-2x)\ge2x-17$.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_3 108-2\log_3 2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$ jest równa