Bank zadań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(\sqrt{32}-\sqrt2)^2$ jest równa

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h\in(5,+\infty)$ (zadanie 12.1).

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.

Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek $(x_1-x_2)^2\le180$. Zapisz obliczenia.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\dfrac9{25}\right)$.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $3\cos^2x+\sqrt3\sin(2x)-3\sin^2x=0$ w przedziale $[-\pi,\pi]$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\mathcal O_1$ oraz $\mathcal O_2$ o równaniach: $\mathcal O_1:(x-1)^2+(y+3)^2=5$ oraz $\mathcal O_2:(x-2)^2+(y-4)^2=45$.

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\vec{AM}=-2\cdot\vec{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\dfrac12$.

Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac15$.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $|x-2|-2\cdot|x+3|<-2$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\dfrac{\sqrt3-1}2$.

Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq\dfrac12a$, prawdziwa jest nierówność $(a+2b)^3>8a^2b+16ab^2$.

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge0$, gdzie $N_0$ to liczebność populacji w chwili $t=0$, $k$ to stała dodatnia charakterystyczna dla gatunku, a $t$ to czas w godzinach.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch godzinach była równa 15 625.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$ dla każdego $x\in(4,10]$ (zadanie 12.1).

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, styczna do każdego z boków trójkątnego kwietnika.

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-16}$.

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\angle BAD|=60°$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg.

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m\neq0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=m^2x^2-2mx-m+1$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ należące do przedziału $(-2,2)$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt2\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\dfrac59$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.